프로그래머스 - 멀쩡한 사각형

문제 설명

가로 길이가 Wcm, 세로 길이가 Hcm인 직사각형 종이가 있습니다. 종이에는 가로, 세로 방향과 평행하게 격자 형태로 선이 그어져 있으며, 모든 격자칸은 1cm x 1cm 크기입니다. 이 종이를 격자 선을 따라 1cm × 1cm의 정사각형으로 잘라 사용할 예정이었는데, 누군가가 이 종이를 대각선 꼭지점 2개를 잇는 방향으로 잘라 놓았습니다. 그러므로 현재 직사각형 종이는 크기가 같은 직각삼각형 2개로 나누어진 상태입니다. 새로운 종이를 구할 수 없는 상태이기 때문에, 이 종이에서 원래 종이의 가로, 세로 방향과 평행하게 1cm × 1cm로 잘라 사용할 수 있는 만큼만 사용하기로 하였습니다.
가로의 길이 W와 세로의 길이 H가 주어질 때, 사용할 수 있는 정사각형의 개수를 구하는 solution 함수를 완성해 주세요.

제한사항

• W, H : 1억 이하의 자연수

입출력 예

WHresult

8

12

80

입출력 예 설명

입출력 예 #1
가로가 8, 세로가 12인 직사각형을 대각선 방향으로 자르면 총 16개 정사각형을 사용할 수 없게 됩니다. 원래 직사각형에서는 96개의 정사각형을 만들 수 있었으므로, 96 - 16 = 80 을 반환합니다.

 

나의 풀이

import math


def solution(w,h):
    a= []
    v = [0]
    for i in range(1, h+1):
        x = (w/h)*i
        if x % 1 == 0:
            v.append(i)
        a.append(math.ceil(x))

    answer = 0
    for j in range(len(v)-1):
        goo = a[v[j]:v[j+1]]
        sum_d = a[0]
        for k in range(len(goo)-1):
            d = (goo[k+1] - goo[k]) + 1
            sum_d += d
        answer += sum_d

    return (w*h) - answer

시간초과 및 일부 테스트를 통과하지 못한 풀이이다. 우선 이 풀이에 대한 알고리즘은 y축이 늘어남에 따라 x좌표를 구하고 해당 x좌표 점이 다음 좌표와 비교할때 정수의 차이 만큼이 선이 지나간 네모의 수라고 가정했다...

 

정답 코드

def gcd(a, b):
    if a < b:
        a, b = b, a
    while b != 0:
        a, b = b, a % b
    return a


def solution(w,h):
    return w*h -(w+h-gcd(w,h))

결국에는 그림과 같이 보면 이해하기 쉽겠지만 (w+h-1)은 기울기(선)이 지나는 네모의 수이다. 괄호 안에 1은 처음 시작 값은 x,y 값 모두 해당하므로 중복된 값을 빼준 것이다. 따라서 중복값의 갯수가 늘어남에 따라 1의 크기는 달라진다. 그런 경우는 선이 좌표를 지날 때 이다.

선이 좌표를 지나는 경우는 주어진 w와 h가 최대공약수가 1보다 큰 경우이다. 8, 12의 기울기는 2/3 되고 그때 최대공약수는 4이다. 그래서 w=2, h=3이 선을 이어 4개가 이어져있는 것과 같다!

따라서 지나가는 네모의 수는 w+h-gcd(w,h)이다!